Обернена задача знаходження форми графу та узагальнення теореми Амбарцумяна : дис.... доктора фiлос. наук : 111 Математика

Abstract

Дисертацiйна робота присвячена прямим та оберненим спектральним задачам, якi виникають при розглядi квантовомеханiчних систем на метричних графах. Такi задачi описують, наприклад, рух квантовомеханiчної частинки у тонкому хвильоводi, що має форму графу. З точки зору математики йдеться про задачi, породженi диференцiальними рiвняннями квантової механiки, що заданi на метричних графах. Дисертацiйна робота складається з пяти роздiлiв, перший з яких є вступ, висновкiв до кожного роздiлу i загальних висновкiв, та списку використаних джерел, що мiстить 91 найменування. У вступi визначено обєкт i предмет дослiдження, обгрунтовано актуальнiсть теми дисертацiйного дослiдження, сформульовано мету i завдання, визначено методи дослiдження, його наукову новизну, практичну значимiсть, прокоментовано апробацiю, описано структуру дисертацiйної роботи та її основний змiст. У другому роздiлi коротко описана iсторiя обернених спектральних задач Штурма-Лiувiлля на iнтервалi, на зiрковому графi, на довiльному метричному деревi i на простому звязному графi. Зазначено, що iснують двi постановки обернених задач на графах. В першiй постановцi даними є форма графу та спектр або спектри задач Штурма-Лiувiлля на цьому графi, треба знайти потенцiали на ребрах. У другiй постановцi оберненої задачi вiдомий спектр (або спектри), а треба знайти форму графу. В данiй дисертацiйнiй роботi розглянутi оберненi задачi у першiй постановцi (роздiл 3) та у другiй постановцi (роздiл 4, роздiл 5). Railian (Chernyshenko) A.A. Inverse problem of recovering the shape of a graph and generalizations of Ambarzuvian’s theorem. Qualifying work on the right of a manuscript. Thesis for a degree of Doctor of Philosophy in specialty 111 Mathematics. South - Ukrainian national pedagogical university named after K.D. Ushinsky. Ministry of Education and Science of Ukraine, Odesa, 2024. The thesis is devoted to direct and inverse spectral problems which occur when quantum mechanical problems are considered on metric graphs. Such problems describe a quantum particle motion in a thin waveguide. From mathematical point of view these are problems generated by differential equations of quantum mechanics defined on metric graphs. In the introduction the object, the subject and the subject-matter of the investigation are described, relevance of the topic and its novelty are proved, practical importance is shown. The approbation is described and the structure and the main content are given. In Section 2 a brief history of direct and inverse spectral Sturm-Liouville problems on an interval, on a star graph, on an arbitrary tree and on a simple connected metric graph is presented. There exist two settings of inverse problem on a graph. In the first setting the shape of a graph is given as well as the spectrum of a spectral problem or spectra of spectral problems and it necessary to find the potentials on the edges. In the second setting of inverse problem on graphs the spectrum (or spectra) is given, we need to find the shape of the graph. In the third section the first setting of the inverse problem is considered while in the fourth and in the fifth – the second.