Asymptotic representations of solutions with slowly varying derivatives of the second order differential equations with the product of different types of nonlinearities

Abstract

Signicantly nonlinear non-autonomous dierential equations have begun to appear in prac tice from the second half of the nineteenth century in the study of real physical processes inatomic and nuclear physics, and also in astrophysics. The dierential equation, that contains inits right part the product of regularly and rapidly varying nonlinearities of an unknown functionand its rst-order derivative is considered in the paper. Partial cases of such equations arise,rst of all, in the theory of combustion and in the theory of plasma. The rst important results on the asymptotic behavior of solutions of such equations have been obtained for a second-orderdierential equation, that contains the product of power and exponential nonlinearities in its right part. For, no such equations have been obtained before. According to this, the study of the asymptotic behavior of solutions of nonlinear dierential equations of the second order of general case, that contain the product of regularly and rapidly varying nonlinearities as the argument tends either to zero or to innity, is actual not only from the theoretical but also from the practical point of view. The asymptotic representations, as well as the necessary andsucient conditions of the existence of Pω(Y0, Y1, ±∞)-solutions of such equations are investigated in the paper. This class of solutions is the one of the most dicult of studying due to the fact that, by the a priori properties of the functions of the class, their second-order derivatives aren't explicitly expressed through the rst-order derivative. The results obtained in this article supplement the previously obtained results for Pω(Y0, Y1, ±∞)-solutions of the investigated equation concerning the sucient conditions of their existence and quanti Істотно нелінійні неавтономні диференціальні рівняння почали виникати на практиці з другої половини дев'ятнадцятого століття при дослідженні реальних фізичних процесів атомної і ядерної фізики, а також, астофізики. У роботі розглядається диференціале рівняня, яке містить у правій частині добуток правильно та швидко змінних нелінійностей від невідомої функції та її похідної першого порядку. Окремі випадки таких рівнянь виникають, насамперед, у теорії горіння та теорії плазми. Перші важливі результати щодо асимптотичної поведінки розв'язків таких рівнянь було отримано для диференціального рівняння другого порядку, яке у правій частині містило добуток степеневої та експоненціальної нелінійностей. Для загального випадку таких рівнянь результатів раніше отримано не було. У зв'язку з цим, дослідження асимптотичної поведінки розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку, що містять добуток правильно та швидко змінних нелінійностей при прямуванні аргументу або до нуля, або до нескінченності, є актуальним не лише з теоретичної, а й з практичної точки зору. У даній роботі досліджуються асимптотичні зображення, а також необхідні і достатні умови існування $P_{\omega}(Y_0,Y_1,\pm\infty)$-розв'язків такого рівняння. Цей клас розв'язків є одним з найскладніших для дослідження за рахунок того, що, зважаючи на апріорні властивосТі функцій цього класу, їх похідна другого порядку у явному вигляді не виражається через похідну першого порядку. Результати, отримані у цій статті доповнюють отримані раніше результати для досліджуваного класу розв'язків досліджуваного рівняння щодо достатніх умов їх існування та кількості.