Асимптотика по параметру решений уравнения Штурма-Лиувилля

Abstract

Рассмотрены дифференциальное уравнение на конечном отрезке [0, l] с параметром μ∈C, которое имеет вид (A (x) y '(x))' + [μρ1 (x) + ρ2 (x)] y (x) = 0. В условиях a (x), ρ (x) ∈L∞ [0, l], ρj (x) ∈L1 [0, l], j = 1,2, и почти везде a (x) ≥m0> 0; ρ (x) ≥m1> 0- абсолютно непрерывная функция на [0, l], получено асимптотические формулы экспоненциального типа для фундаментальной системы решений этого уравнения при | μ | → ∞. Розглянуто диференціальне рівняння на скінченному відрізку [0,l] із параметром μ∈C, яке має вигляд (a(x)y′(x))′+[μρ1(x)+ρ2(x)]y(x)=0. За умов a(x),ρ(x)∈L∞[0,l],ρj(x)∈L1[0,l],j=1,2, і майже скрізь a(x)≥m0>0;ρ(x)≥m1>0— абсолютно неперервна функція на [0,l], одержано асимптотичні формули експоненціального типу для фундаментальної системи розв'язків цього рівняння при |μ|→∞. On a finite segment [0, l], we consider the differential equation (a(x)y′(x))′+[μρ1(x)+ρ2(x)]y(x)=0 with a parameter μ ∈ C. In the case where a(x), ρ(x) ∈ L∞[0, l], ρ j (x) ∈ L1[0, l], j = 1, 2, a(x) ≥ m0 > 0 and ρ(x) ≥ m1 > 0 almost everywhere, and a(x)ρ(x) is a function absolutely continuous on the segment [0, l], we obtain exponential-type asymptotic formulas as |μ|→∞ for a fundamental system of solutions of this equation.