Повні послідовності цілих чисел у курсах математики закладів загальної середньої освіти

Abstract

Повні послідовності натуральних чисел являють собою нескінченні послідовності, за допомогою яких можна отримати будь- яке інше натуральне число. Особливий інтерес викликають повні адитивні послідовності, що мають широке застосування в математиці, зокрема в таких її розділах, як комбінаторика, теорія чисел та криптографія. Вони також можуть бути корисними при розв’язанні задач різного рівня складності, тому їх вивчення доцільно впроваджувати у навчальний процес, наприклад, під час факультативних занять у закладах загальної середньої освіти. У ході аналізу було розглянуто найбільш відомі повні послідовності, серед яких система чисел Фібоначчі, числа Піллаї, послідовність практичних чисел та їх основні властивості. Крім того, було проаналізовано можливість використання цих властивостей для розв’язування конкретних завдань, що входять до шкільного курсу математики. Було підібрано та розв’язано відповідні задачі із застосуванням теоретичних засад повних послідовностей, що підтвердило їхню практичну значущість у навчальному процесі. Варто відзначити, що знайомство учнів із теорією повних натуральних чисел сприяє розвитку їхнього логічного та аналітичного мислення, що є важливим фактором у формуванні математичної компетентності. Також, повні послідовності мають велике значення у математичному моделюванні та розв’язанні оптимізаційних задач, що може бути особливо корисним у підготовці учнів до подальшого навчання у сфері програмування, криптографії та аналізу даних. Complete sequences of natural numbers are infinite sequences that can be used to obtain any other natural number. Of particular interest are complete additive sequences, which are widely used in mathematics, in particular in such sections as combinatorics, number theory, and cryptography. They can also be useful in solving problems of various levels of complexity, so it is advisable to introduce their study into the educational process, for example, during optional classes in secondary education institutions. The analysis considered the most famous complete sequences, including the Fibonacci number system, Pillai numbers, the sequence of practical numbers, and their basic properties. In addition, the possibility of using these properties to solve specific problems included in the school mathematics course was analyzed. The corresponding problems were selected and solved using the theoretical principles of complete sequences, which confirmed their practical significance in the educational process.