Обернена спектральна задача для зіркового графу зі стільтьєсівських струн із заданими кількостями мас на ребрах

Abstract

Consider a spectral problem for a star graph of Stieltjes strings. At the central vertex the generalized Neumann conditions are imposed. All but one (called the root) pendant vertices of the graph are clamped. We consider two problems: 1) with the Neumann condition at the root (the Neumann problem), 2) with the Dirichlet condition at the root (the Dirichlet problem). In paper [V. Pivovarchik, N. Rozhenko, C. Tretter, Dirichlet – Neumann inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings, Linear Algebra and Appl., 439, № 8, 2263 – 2292 (2013)], the spectra of such problems were described and the corresponding inverse problem of recovering the values of masses and lengths of the intervals between them was solved by using the spectra of the two (Neumann and Dirichlet) problems. In the present paper, in contrast to the results mentioned above we solve the inverse problem where the number of point masses on the edges is prescribed. We find necessary and sufficient conditions guaranteeing that two sequences of real numbers are the spectra of the Dirichlet and Neumann problems for a star graph with prescribed numbers of masses on the edges and prescribed lengths of edges. Розглянуто спектральну задачу для зiркового графа зi стiльтьєсiвських струн. У центральнiй вершинi накладено узагальненi умови Неймана. Всi висячi вершини, крiм однiєї (кореня), закрiплено. Ми розглядаємо двi задачi: 1) з умовою Неймана у коренi (задача Неймана), 2) з умовою Дiрiхле у коренi (задача Дiрiхле). У статтi [V. Pivovarchik, N. Rozhenko, C. Tretter, Dirichlet – Neumann inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings, Linear Algebra and Appl., 439, № 8, 2263 – 2292 (2013)] описано спектри таких задач i розв’язано вiдповiдну обернену задачу вiдновлення величин мас i довжин iнтервалiв мiж ними, виходячи зi спектрiв двох задач (Неймана i Дiрiхле). На вiдмiну вiд вказаних результатiв ми розв’язуємо обернену задачу, в якiй кiлькостi мас на ребрах задано, та знаходимо умови на двi послiдовностi дiйсних чисел, необхiднi та достатнi, щоб вони були спектрами задач Дiрiхле та Неймана для зiркового графа з заданими кiлькостями точкових мас та заданими довжинами ребер.