Three spectra problem for Stieltjes string equation and Neumann conditions

Abstract

Spectral problems are considered which appear in description of small transversal vibrations of Stieltjes strings. It is shown that the eigenval ues of the Neumann-Neumann problem, i.e. the problem with the Neumann conditions at both ends of the string interlace with the union of the spectra of the Neumann-Dirichlet problems, i.e. problems with the Neumann condi tion at one end and Dirichlet condition at the other end on two parts of the string. It is shown that the spectrum of Neumann-Neumann problem on the whole string, the spectrum of Neumann-Dirichlet problem on the left part of the string, all but one eigenvalues of the Neumann-Dirichlet problem on the right part of the string and total masses of the parts uniquely determine the masses and the intervals between them. Скінченновимірні спектральні задачі виникають у механіці при описі малих поперечних коливань, так званих, стільтьєсівських струн та повздовжних коливань точкових мас, з’єднаних пружинами. Вони також виникають у теорії синтезу електричних ланцюгів. Обернені задачі полягають у відновленні параметрів системи, виходячи зі спектрів її коливань. У роботах М. Г. Крейна була повністю розв’язана обернена задача за двома спектрами, тобто за спектром задачі з умовами Діріхле на обох кінцях інтервалу та спектром задачі з умовою Діріхле на лівому кінці та умовою Ноймана на правому кінці. Замість двох спектрів задач на всьому інтервалі можна взяти спектр задачі на всьому інтервалі та спектри задач на двох частинах цього інтервалу. В нашій статті ми розглядаємо спектральну задачу, породжену рекурентними співвідношеннями стільтьєсівської струни з умовами Ноймана на обох кінцях (задача Ноймана-Ноймана) разом із задачами на частинах інтервалу з умовами Ноймана на лівому кінці та Діріхле на правому кінці (задача Ноймана-Діріхле). Ми показали, що власні значення задачі Ноймана-Ноймана на всьому інтервалі чергуються з елементами об’єднання спектрів задач Ноймана-Діріхле на частинах інтервалу. Відповідна обернена задача полягає у знаходженні параметрів стільтьєсівської струни (величин точкових мас та інтервалів між ними), виходячи із загальних мас частин струни, спектрів задач Ноймана-Ноймана на всій струні та Ноймана-Діріхле на частинах струни. Для такої задачі ми довели, що спектр задачі Ноймана-Ноймана на всій струні, спектр задачі Ноймана-Діріхле на лівій частині струни, всі, крім одного, власні значення задачі Ноймана-Діріхле на правій частині струни та загальні маси обох частин струни однозначно визначають величини всіх точкових мас та інтервали між ними.